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辛普森悖论

    来源:现代生活网      作者:未知
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01

有一所大学,分别是法学院和商学院,新学期招生。当年申请的学生抗议说这两个学院有性别歧视,并给出了如下数据:


法学院

商学院


根据上面两个表格来看,女生在两个学院都被优先录取。即女生的录取比率较高。现在将两学院的数据汇总:



神奇的事情出现了,在总评中,女生的录取比率反而比男生低。

这个例子就是典型的 辛普森悖论,亦有人译为辛普森诡论,为英国统计学家E.H.辛普森(E.H.Simpson)于1951年提出的悖论,即在某个条件下的两组数据,分别讨论时都会满足某种性质,可是一旦合并考虑,却可能导致相反的结论。 简单的将分组数据相加汇总,是不能反映真实情况的。在我们的日常生活中,辛普森悖论所导致的误解和偏差无处不在。

就上述例子说,导致辛普森悖论有两个前提。

两个分组的录取率相差很大,就是说法学院录取率很低,而商学院却很高。而同时两种性别的申请者分布比重相反。女性申请者的大部分分布在法学院,相反,男性申请者大部分分布于商学院。结果在数量上来说,拒收率高的法学院拒收了很多的女生,男生虽然有更高的拒收率,但被拒收的 数量却相对不算多。而录取率很高的商学院虽然有较高的录取比例,但是被拒收的男生数量相对法学院来说则明显较多。

有潜在因素影响着录取情况。就是说,性别并非是录取率高低的唯一因素,甚至可能是毫无影响的。至于在学院中出现的比率差,可能是随机事件。又或者是其他因素作用,比如入学成绩,却刚好出现这种录取比例,使人牵强误认为这是由性别差异而造成的。


02

查看雷阿伦和科比的职业生涯统计,发现无论两分球命中率还是三分球命中率,雷阿伦都高于科比,但总命中率科比却高于雷阿伦。

这个结果是比较反直觉的,一般人会认为既然雷阿伦的两分球和三分球都更准,那么总体也应该更准才对。

但问题的关键在于:两分球和三分球在两人出手中所占的比重不同,所以不能进行直接的比较。举一个极端的例子:科比和雷阿伦都出手1000次,其中科比出手999个两分球命中460个,出手1个三分球命中0个,雷阿伦出手500个两分球命中250个,出手500个三分球命中200个。

那么科比的两分球、三分球以及总命中率分别是46%、0%、46%,而雷阿伦的则是50%、40%、45%。由此可以看出,这个问题实际上是不具有贪心特性的,局部最优并不一定能保证全局最优。比赛中为了追求成功率当然应该多投两分,但不要忘了每个三分球比两分球多出50%的分数。

假设一个球员三分球命中率是40%,两分命中率是50%,那么他每次三分出手得分的期望值为1.2分,每次两分出手则只有1分。这时再考虑前面的例子,科比以46%的命中率每回合得分期望为0.92分,而雷阿伦以45%的命中率每回合得分期望为1.1分,这又是一个反直觉的例子。


03

农民张大伯去买一斤小米

米店老板掏出一个秤,放在地上,随手拿起一把刀割破了一个米袋,米就哗哗哗的掉到秤上



等到秤的示数为一斤时的瞬间,老板堵住了米袋子的口子,把秤上的小米给了张大伯。

张大伯心满意足的走在回家的路上,心中感慨老板真是个豪爽的人。突然,他觉得不太对劲:按照F=ma,小米在落在秤盘上时应该会产生一个力......所以他买到的米其实不足一斤。

第二天,张大伯将老板告上了官府。张大伯把自己的想法说出来了老板则表示这样做每次都没出过差错。

县太爷听了,微微一笑:“这是误会,老板没有坑你”

说完,县太爷猛地取一根毛笔,蘸墨写到:

设秤距离抛出点的竖直高度为h

记小米的流速为

则在秤恰好显示1斤时,取此后一极短时间



此时间内,与秤盘发生碰撞的小米质量设m为则由动量定理,得其中

联立得也就是说此时秤的示数(m1为已经落在盘上小米的质量)

张大伯一听,愤怒的说:你看,我这不是损失了相当于这么多的小米吗!

县太爷笑道:别忘了,现在空中还有小米呢

老板一听,感到有些疑惑:啊?这么说难道是我亏了吗?

县太爷接着写到:记张大伯所说的而此时在空中的小米质量为m3则m3=λt其中,代入发现m3=m2

这也就是说,你们俩一点都没有亏。

张大伯和米店老板听了,相视一笑,从此过上了快乐的生活。


04

希尔伯特旅馆悖论:假设有一个拥有可数无限多个房间的旅馆,且所有的房间均已客满。

但是对于无限房间的旅馆,客满不代表不能接收新的客人。如果有

★有限个新客人

设想此时有一个客人想要入住该旅馆。由于旅馆拥有无穷个房间,因而我们可以将原先在1号房间原有的客人安置到2号房间、2号房间原有的客人安置到3号房间,以此类推,这样就空出了1号房间留给新的客人。重复这一过程,我们就能够使任意有限个客人入住到旅馆内。

★无限个新客人

将1号房间原有的客人安置到2号房间、2号房间原有的客人安置到4号房间、n号房间原有的客人安置到2n号房间,这样所有的奇数房间就都能够空出来以容纳新的客人。因此偶数集合和整数集合等势(你可以认为偶数和整数“一样多”。)

★无限个客车且每个客车上有无限个新客人

这需要有一个前提条件:所有客车上的每个座位都已经编好了次序(即旅馆管理员对客人的安排    满足选择公理)。首先,如同前面一样将所有奇数房间都清空,再将第一辆客车上的客人安排在3n 第号房间(n=1,2,3,...、第二辆客车上的客人安排在第5n号房间,以此类推,将第i辆客     车上的客人安排在第pn号房间(其中,p是第i1个质数)。


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