辛普森悖论

01

有一所大学，分别是法学院和商学院，新学期招生。当年申请的学生抗议说这两个学院有性别歧视，并给出了如下数据：

法学院

商学院

根据上面两个表格来看，女生在两个学院都被优先录取。即女生的录取比率较高。现在将两学院的数据汇总：

神奇的事情出现了，在总评中，女生的录取比率反而比男生低。

这个例子就是典型的 辛普森悖论，亦有人译为辛普森诡论，为英国统计学家E.H.辛普森（E.H.Simpson）于1951年提出的悖论，即在某个条件下的两组数据，分别讨论时都会满足某种性质，可是一旦合并考虑，却可能导致相反的结论。 简单的将分组数据相加汇总，是不能反映真实情况的。在我们的日常生活中，辛普森悖论所导致的误解和偏差无处不在。

就上述例子说，导致辛普森悖论有两个前提。

两个分组的录取率相差很大，就是说法学院录取率很低，而商学院却很高。而同时两种性别的申请者分布比重相反。女性申请者的大部分分布在法学院，相反，男性申请者大部分分布于商学院。结果在数量上来说，拒收率高的法学院拒收了很多的女生，男生虽然有更高的拒收率，但被拒收的 数量却相对不算多。而录取率很高的商学院虽然有较高的录取比例，但是被拒收的男生数量相对法学院来说则明显较多。

有潜在因素影响着录取情况。就是说，性别并非是录取率高低的唯一因素，甚至可能是毫无影响的。至于在学院中出现的比率差，可能是随机事件。又或者是其他因素作用，比如入学成绩，却刚好出现这种录取比例，使人牵强误认为这是由性别差异而造成的。

02

查看雷阿伦和科比的职业生涯统计，发现无论两分球命中率还是三分球命中率，雷阿伦都高于科比，但总命中率科比却高于雷阿伦。

这个结果是比较反直觉的，一般人会认为既然雷阿伦的两分球和三分球都更准，那么总体也应该更准才对。

但问题的关键在于：两分球和三分球在两人出手中所占的比重不同，所以不能进行直接的比较。举一个极端的例子：科比和雷阿伦都出手1000次，其中科比出手999个两分球命中460个，出手1个三分球命中0个，雷阿伦出手500个两分球命中250个，出手500个三分球命中200个。

那么科比的两分球、三分球以及总命中率分别是46%、0%、46%，而雷阿伦的则是50%、40%、45%。由此可以看出，这个问题实际上是不具有贪心特性的，局部最优并不一定能保证全局最优。比赛中为了追求成功率当然应该多投两分，但不要忘了每个三分球比两分球多出50%的分数。

假设一个球员三分球命中率是40%，两分命中率是50%，那么他每次三分出手得分的期望值为1.2分，每次两分出手则只有1分。这时再考虑前面的例子，科比以46%的命中率每回合得分期望为0.92分，而雷阿伦以45%的命中率每回合得分期望为1.1分，这又是一个反直觉的例子。

03

农民张大伯去买一斤小米

米店老板掏出一个秤，放在地上，随手拿起一把刀割破了一个米袋，米就哗哗哗的掉到秤上

等到秤的示数为一斤时的瞬间，老板堵住了米袋子的口子，把秤上的小米给了张大伯。

张大伯心满意足的走在回家的路上，心中感慨老板真是个豪爽的人。突然，他觉得不太对劲：按照F=ma，小米在落在秤盘上时应该会产生一个力......所以他买到的米其实不足一斤。

第二天，张大伯将老板告上了官府。张大伯把自己的想法说出来了老板则表示这样做每次都没出过差错。

县太爷听了，微微一笑：“这是误会，老板没有坑你”

说完，县太爷猛地取一根毛笔，蘸墨写到：

设秤距离抛出点的竖直高度为h

记小米的流速为

则在秤恰好显示1斤时，取此后一极短时间

此时间内，与秤盘发生碰撞的小米质量设m为则由动量定理，得其中，

联立得也就是说此时秤的示数（m1为已经落在盘上小米的质量）

张大伯一听，愤怒的说：你看，我这不是损失了相当于这么多的小米吗！

县太爷笑道：别忘了，现在空中还有小米呢

老板一听，感到有些疑惑：啊？这么说难道是我亏了吗？

县太爷接着写到：记张大伯所说的而此时在空中的小米质量为m₃则m_3=λt其中，代入发现m_3=m2

这也就是说，你们俩一点都没有亏。

张大伯和米店老板听了，相视一笑，从此过上了快乐的生活。

04

希尔伯特旅馆悖论：假设有一个拥有可数无限多个房间的旅馆，且所有的房间均已客满。

但是对于无限房间的旅馆，客满不代表不能接收新的客人。如果有

★有限个新客人

设想此时有一个客人想要入住该旅馆。由于旅馆拥有无穷个房间，因而我们可以将原先在1号房间原有的客人安置到2号房间、2号房间原有的客人安置到3号房间，以此类推，这样就空出了1号房间留给新的客人。重复这一过程，我们就能够使任意有限个客人入住到旅馆内。

★无限个新客人

将1号房间原有的客人安置到2号房间、2号房间原有的客人安置到4号房间、n号房间原有的客人安置到2n号房间，这样所有的奇数房间就都能够空出来以容纳新的客人。因此偶数集合和整数集合等势（你可以认为偶数和整数“一样多”。）

★无限个客车且每个客车上有无限个新客人

这需要有一个前提条件：所有客车上的每个座位都已经编好了次序（即旅馆管理员对客人的安排    满足选择公理）。首先，如同前面一样将所有奇数房间都清空，再将第一辆客车上的客人安排在3ⁿ 第号房间(n=1,2,3,...、第二辆客车上的客人安排在第5ⁿ号房间，以此类推，将第i辆客     车上的客人安排在第pⁿ号房间（其中，p是第i1个质数）。